Quantenmechanik und freie Wahrscheinlichkeitstheorie

Herzstück der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Algebra der Zufallsvariablen. Dem herkömmlichen Ansatz folgend, wählt man einen Probenraum und weist einer Anzahl von Ereignissen in diesem Raum eine Wahrscheinlichkeit (Erwartung) zu, wodurch Algebren von Zufallsvariablen aufgebaut werden. Die Zufallsvariablen, die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis in dem Probenraum eintritt, sind vertauschbar, was bedeutet, dass eine Veränderung der Reihenfolge der Operanden nicht das Ergebnis verändert.

In der Quantenmechanik wird der Probenraum durch den Zustandsraum ersetzt und die Erwartung ist nun der Erwartungswert für einen gegebenen Quantenzustand. Physikalische Beobachtungsgrößen nehmen den Platz der Zufallsvariablen ein, die im Allgemeinen nicht vertauschbar sein müssen. Quantenwahrscheinlichkeit, die sogenannte nichtkommutative Wahrscheinlichkeit, beinhaltet die Möglichkeit nichtkommutativer Operationen, die sowohl klassische als auch Quantenzustände umfassen. Anhand dieser in den 1980er Jahren entwickelten Wahrscheinlichkeit konnte man Modelle von Quantenbeobachtungsprozessen erstellen, die viele der scheinbaren Widersprüche der Quantenmechanik auflösen.

Die Quantenwahrscheinlichkeit beinhaltet viele verschiedene Begriffe der Unabhängigkeit, von denen die bekannteste die freie Wahrscheinlichkeit sein dürfte, deren Konzept um 1985 aufgestellt wurde. Die Entdeckung von 1991, dass sie in engem Zusammenhang mit der Zufallsmatrixtheorie steht, mündete in spannenden neuen Resultaten, Konzepten und Werkzeugen sowie der Ermittlung wichtiger Anwendungen. Das EU-finanzierte Projekt "Independence and convolutions in noncommutative probability" (ICNCP) untersuchte die mathematische Theorie der freien Wahrscheinlichkeit und freien Unabhängigkeit und versetzte die Grenzen der klassischen und freien Wahrscheinlichkeit.

Das kurze Zweijahres-Forschungsvorhaben ergab neun Publikationen und zehn Präsentationen. Die Erkenntnisse bilden einen wichtigen Beitrag zu diesem Gebiet und letztlich zur Beschreibung und Entwicklung von Geräten für die Praxis.